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Taupe Au Logis
11 août 2013

Cantor, j'adore.

Cantor Dior

 

"Léo, j'ai besoin de ton aide là ... J'arrive pas à voir pourquoi, en dimension infinie, il y a pas de surjections de V dans V*... "

"Bah c'est tout simple. Il suffit d'utiliser la diagonale de Cantor. C'était vraiment super simple, tu construis une fonction [....]"

"Ah, oui ..."

Cette conversation a eu lieu il y a quelques jours, et je me suis rendu compte qu'on pouvait dériver cet argument quelques fois, tout simple mais il fallait y penser. Cet argument est quand même un indispensable de la démonstration en mathématiques, et il est utilisé pas mal de fois. L'idée est la suivante : On veut trouver un élément particulier d'un ensemble, qu'on va construire à partir d'une liste, pour obtenir certaines propriétés qui découleront de sa construction. On s'intéresse pour cela à la diagonale d'un ensemble, définie par toute les couples .

La non dénombrabilité de R 

C'est la fois ou cet argument a été utilisé la première fois, par Cantor. Il fourni la preuve que  n'est pas en bijection avec . (On va se contenter de montrer qu'il n'existe pas de surjection de  dans . Soit  une telle surjection. On va construire un élément de  de . Si une telle surjection existe, alors il existe une suite  tel que .  En particulier, on va prendre le dévellopement décimale de chaque terme de la suite : 

Par exemple, ..., ...., etc ... A présent, on va construire  de la manière suivante :  si , et  sinon. 
Une fois qu'on a construit notre nombre  on constate qu'il appartient à  et qu'en plus, il ne peut pas être dans la liste, puisque si on avait   pour un certain i, on aurait notamment  ce qui est impossible. Le nom de "diagonale" vient du fait que si on écrit dans un tableau les , ils représentent la diagonale du tableau (les indices ne sont pas les même mais on voit la diagonale qui apparait ) :

La non-dénombrabilité de l'ensembe triadique de Cantor


On prends le dévellopement en base 3 des éléments de C, on suppose qu'ils sont dénombrables et utilise exactement le même argument ! Tout simplement ! 

 

L'existence d'un nombre complexe transcendant de module 1

Supposons que pour les besoins d'un certain paradoxe d'un certain polonais (Oui ! Bien sûr, vous avez tous reconnu le paradoxe de Sierpinski-Mazurkiewicz !) on ait besoin d'un nombre complexe transcendant de module 1, autrement dit un nombre z qui ne soit solution d'aucun polynôme complexe rationnel, et de module 1.  
(On va dire qu'ici, dénombrable signifie infini-dénombrable, donc en bijection avec ).
Si on définit , on voit bien que  parcours l'ensemble des polynômes complexes rationnels de degré 1. C'est la réunion de deux ensembles dénombrables, donc  dénombrable.

Si on définit de même manière , qui contient l'union possible des n couples de rationnels, on voit qu' peut être associé à l'ensemble des polynômes de degré n, et  est dénombrable aussi. (En fait, toute union dénombrable d'ensemble  dénombrable est dénombrable. Si on  désigne par  le j-ième élément de , On sait que  est dénombrable, et il suffit pour chaque ensemble dénombrable   d'associer le couple  au couple . Ainsi, chaque élément  possède un unique couple associé . Donc  peut être mis en bijection avec , donc E est dénombrable. 
Grâce à cet argument, on peut voir que l'union des  est dénombrables. 
A présent qu'on a une liste dénombrable des polynômes  complexes rationnels, on a aussi une liste dénombrable de leur raçine ! Donc, en éliminant des doublons et en ne prenant que les nombres de module 1, on a obtenu LA suite des nombres algébrique de module 1 ! Eh oui, chouette suite n'est ce pas ?
Surtout qu'a présent, vous avez compris le principe, on va diagonaliser la suite, mais on va utiliser une petit astuce avant ... (Bah oui, qui nous dit que le nombre obtenu en "cantorisant" la suite sera aussi de module 1 ? ) En fait, on va utiliser une petite astuce, et considérer la bijection : . On va prendre notre suite  des nombres algébriques de module 1, et prendre la suite correspondante  tel que  si on applique la méthode de la diagonale de Cantor à la suite , on peut exhiber un élément  dont . En particulier,  est un nombre complexe, de module 1 et transcendant. On a fini par le trouver !!

Le dual en dimension infinie 

Pour détailler un peu le premier exemple, va prendre un K-espace vectoriel  de dimension infini  (chouette, un K-espace vectoriel  de dimension infini !!). On considère son dual, . Le dual  d'un espace vectoriel  est l'ensemble des formes linéaires, autrement dit des applications . Le dual est aussi un espace vectoriel, et les vecteurs de  sont ces mêmes applications. En dimension finie,  et  sont isomorphes (ça veut juste dire qu'ils ont la même dimension), mais seulement, quand on passe à la dimension infinie, ça ne marche plus !  devient beaucoup plus gros que , et il n'existe pas de surjection de  dans  ! Ici encore, l'argument de la diagonale de Cantor va nous sauver !  On va prendre une base arbitraire de , disons . On va aussi prendre une base arbitraire de . On construit une fonction   de la manière suivante : , i.e  si  est non nulle, et  sinon. Ainsi,  n'a pas de préimage, et donc il n'existe pas de surjection de  vers .

Donc pour résumer ... La diagonale de Cantor, j'adore !!

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Commentaires
T
Les formules sont tapées en LaTeX oui, et exportées en image sur le site... Il faut faire ça avec les moyens du bord !<br /> <br /> Pour les développements décimaux, il est d'usage de placer la barre sous les chiffres qui se répètent périodiquement, je m'en occuperai plus tard si j'ai le temps...<br /> <br /> <br /> <br /> Oui tu as raison pour le dernier commentaire de Hyperlibucake, il faut bien sûr lire <= (inférieur ou égal) au lieu de < (inférieur strict).
W
Tu tapes les formules en LaTeX ?<br /> <br /> Pour tes developements decimaux, ça peut être sympa de mettre une barre dessus. Sinon, le mineur ignare que je suis hésite a la lecture avec un produit :(<br /> <br /> Remarque avec la barre on va voir le conjugué d'un complexe !<br /> <br /> <br /> <br /> Une petite erreur de frappe dans la definition d'un intervalle fermé ci-dessus ?
H
Oui, il faut juste enlever le point à la fin du lien :) <br /> <br /> Un segment (fermé) [a,b] dans R, c'est l'ensemble des points x tel que a < x < b. <br /> <br /> Si on suppose que a n'est pas égal à b, ce segment continent une infinité de points. Pour ça on peut prendre le milieu de [a,b], m, puis définir récursivement les milieux m1,m2 de segments [a,m] et [m,b] et continuer ainsi jusqu'à obtenir une infinité (non dénombrable) de points.<br /> <br /> Ensuite, tu as une théorie qui étudie cette question : la théorie de la mesure, plus précisément de la mesure de Lesbegue sur R. Par exemples, les nombres rationnels sont de mesure nulles (donc de "consistance" nulle). Mais, dans R, un segment est de consistance non nulle, même si il est composé de points qui un à un sont de consistance nulle.
S
Merci<br /> <br /> je ne te dérangerais pas plus. (ton lien n'était pas valide : essaye le ) J'ai bien entendu la démonstration de Cantor sur les différences de taille d'infinis entre N et R. Tu disais "pour montrer qu'un segment non réduit à un point contient une infinité de points" Non réduit à un point ? Pour une infinité de points ? Quelle valeur ont ces points ? Sont ils de valeur nulle comme en géométrie classique ? Voilà le genre d'interrogation que je me pose depuis longtemps. Il existe je crois, une forme de topologie, qui attribue une "consistance" à ces points.<br /> <br /> <br /> <br /> SergioH P.S. : tu peux gérer les commentaires de ton blog pour évacuer le superflu ...
H
Une matrice peut être infinie bien sûr. Jusqu'à Cantor, on pensait que tout les infinis étaient égaux. Cet argument montre que non, autrement dit qu'il existe certains infinis "plus grand que d'autre". Il faut bien voir ce que veux dire cette notion. Par exemple, l'exemple de la chambre de Hilbert montre que l'infini de l'hôtel + 1 n'est ni plus grand ni plus petit que l'infini de l'hôtel. En revanche, les infinis qui ont la puissance du continu (autrement dit, les ensembles qui sont en bijection avec R, l'ensemble des nombres réels) est strictement plus grand que l'ensemble des entiers naturels N (et donc de l'infini de l'hôtel). <br /> <br /> La "diagonale" n'est utilisée que pour exhiber un nombre qui sera toujours dans [0,1] et jamais dans une suite énumérant les nombres de [0,1] : donc, ces deux ensembles (N et [0,1]) sont infinis, mais un infini est "plus maigre" que l'autre.<br /> <br /> Ton argument est utilisé en mathématiques, par exemple pour montrer qu'un segment non réduit à un point contient une infinité de points.<br /> <br /> Je te revois à l'article de Wikipédia : http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor's_diagonal_argument. <br /> <br /> Si tu t'intéresse à ce sujet, je te conseille aussi de regarder les ensembles dénombrables notamment.
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