Suite à ma lecture du très bon "La Symétrie, ou les maths au clair de lune" de Marcu du Sautoy, j'ai décidé de parler de ... symétrie !! Bon, en fait, ce post est surtou un prétexte pour faire un (très) rapide tour des groupes, avec quelques propriétés et un poil de géométrie aussi.
Un groupe : qu'est ce que c'est ?
Alors, un groupe, on a vu ce que c'était, c'est un ensemble 
muni d'une loi de composition 
.
Elle doit vérifier trois propriétés :
1 
(on appelle cette propriété associatiativité)
2
(e est l' "élément neutre" du groupe)
3
(on souvent, 
est noté 
ou 
, on appelle h l'inverse de g)
Ces propriétés peuvent sembler un peu abstraites, mais on peut les voir sur un exemple concret. On rappelle que 
c'est l'ensemble des nombres entiers, positifs, négatifs ou nul. On va prendre le groupe 
, la loi + est la loi d'addition qu'on connait tous. La loi est évidemment associative, autrement dit a+(b+c) = (a+b) + c, on est tous d'accord dessus.
Maintenant, on va essayer de trouver l'élément neutre de (qu'on va noter , on a compris que la loi associé à est + ...). Quel est l'élément e de tel que a + e = e + a = a ? Bon ici, la réponse semble évidente, c'est 0. De même pour l'inverse de a, cet élément est tout simplement -a .
Un groupe peut aussi admettre des plus petits groupes à l'intérieur de lui. Un sous groupe 
de 
, c'est un ensemble tel que 
et 
soit un groupe. C'est un "groupe à l'intérieur du groupe". Il est important qu'il soit stable par l'opération 
, autrement dit que 
si a et b sont dans , et que 
si 
. Par exemple, 
n'est pas un sous-groupe de , car 
.
Le groupe diédral 
, les symétries du triangle
A présent, on va s'intéresser à un triangle équilatéral, et aux sommets de ce triangle qu'on va appeller A, B et C. On va considérer toute les symétries du triangle, les transformations qui envoie un sommet sur un sommet. Tout d'abord, il y a l'identité (f(x) = x). On va la noter 
. Ensuite, il y a une rotation d'angle 60°, et une rotation d'angle 120°. On va les noter 
et 
. On peut déjà remarquer que 
. Ensuite, on peut considérer les symétries qui laissent juste un sommet invariant : f(A) = A, f(B) = C et f(C) = B. C'est une symétrie centrale. On va l'appeller 
. On voit immédiatement que 
. Ensuite, on voit que 
laisse invariant C, et que 
laisse invariant B. On a donc 6 éléments : 
. Ces 6 éléments sont l'ensemble du groupe diédral.
On peut vérifier que c'est un groupe. L'élément neutre est l'identitée, l'inverse d'une rotation est bien une rotation, et l'inverse d'une symétrie centrale est bien la symétrie centrale, donc chaque éléments possède bien un inverse. C'est la même chose pour la propriété d'associativité. On peut observer que ce groupe n'est pas abélien, autrement dit il ne vérifie pas tout le temps 
. Par exemple, laisse juste C invariant, tandis que 
laisse juste B invariant (on en déduit au passage l'égalité = 
), donc ce ne sont pas les mêmes éléments. On peut aussi s'entraîner à calculer la table de multiplication de , autrement dit calculer qu'est ce que ça donne 
par exemple. On trouve quatres sous-groupes dans : 
et 
, 
et 
.
On peut généraliser les groupes diédraux : pour tout polygône régulier à n sommets, un groupes diédral 
lui est associé.
Le groupe symétrique 
Si on a un jeu de 3 cartes, de combien de manière différentes on peut redistribuer ce jeu ? Si vous y réfléchissez un peu, celà revient à trouver toute les bijections de 
dans lui même. Par exemple, une manière de distribuer le jeu est 
. On note cette bijection 
. L'identité est notée 
. La transformation f tel que f(1) = 2, f(2) = 3 et f(3) = 1 est noté 
. Ces deux groupes désignent donc quelque chose de totalement différents, et pourtant ils ont également les mêmes propriétés. Par exemple, si on énumère la liste des éléments de : 
. Qu'est ce qu'on peut remarquer ? Le 
et autres 
laissent un chiffre invariant et en permute deux. Tiens, tiens, ça me rappelle quelque chose là ... Quand à ça rappelle étrangement les rotations d'un sommet d'un triangle ... Si de plus, on remarque que ce groupe est non abélien (
mais 
) et que les sous-groupes de ressemblent furieusement à ceux de ... Mais oui, = ! (On note plutôt 
d'habitude).
La notion d'isomorphisme
Quand deux groupes et se "ressemblent furieusement", on dit qu'il sont isomorphes. Qu'est ce que ça veut dire, être isomorphes ? Ça veut dire qu'à chaque élément 
, il va y avoir un élément 
qui "joue le rôle de g dans ". Par exemple ici, on va avoir une correspondance entre et .
De manière plus formelle, on va appeller un morphisme ou homomorphisme de groupe une application 
tel qu'on ai tout le temps l'égalité suivante : 
. Intuitivement, 
représente le même élément que 
. S'il est bijectif, on appelle ce morphisme un isomorphisme. Deux groupes sont donc dit isomorphes si il existe une telle application.
C'est important que le morphisme soit bijectif pour que les groupes soient considérés comme "isomorphes", par exemple l'application qui envoie un groupe sur l'élément neutre d'un autre groupe est un morphisme, mais celà ne signifie absolument pas que les groupes sont "les même" ...
On voit que certaines propriétés sont conservées grâce aux morphismes, par exemple si A est abélien et isomorphe à B, B est abélien.
Pour revenir à et , on peut "construire" un isomorphisme en envoyant un élément de sur un élément de , un par un. Dans le cas général, c'est plutôt une mauvaise idée, et on préfère utiliser certains théorèmes qui servent à ça (les théorèmes d'isomorphismes).
/http%3A%2F%2Fstorage.canalblog.com%2F02%2F91%2F1154308%2F88937944_o.jpg)
/http%3A%2F%2Fstorage.canalblog.com%2F58%2F07%2F1154308%2F88917913_o.png)
/http%3A%2F%2Fstorage.canalblog.com%2F29%2F61%2F1154308%2F88935167_o.png)
/https%3A%2F%2Fstorage.canalblog.com%2F70%2F68%2F1154308%2F93492527_o.png)