Le Paradoxe de Buridan (et une application du théorème du point fixe de Brouwer)

Qui est donc Buridan ? C'est un philosophe auteur du paradoxe du jour, avec ce charmant acteur ayant le rôle principal : 

petite caricature rigolote de l'époque faisant référence à Burdian

L'âne de Buridan était un âne, qui, selon la "légende", était mort de faim et de soif, car il n'avait pas su choisir par quoi commencer entre une botte d'avoine et son seau d'eau, étant à même distance de la botte et du seau. Ce n'est pas un paradoxe à proprement parler, mais plutôt une situation intriguante puisque pourtant l'âne avait tout ce qu'il fallait à sa disposition. Cependant, ce n'est pas un paradoxe "fictif" puisqu'on peut l'observer dans la vraie vie.

Mais pourquoi cet âne n'a pas pris la nourriture la plus proche ?

Si on analyse un peu du point de vue "physique" ce qu'il se passe, on peut considérer que l'âne se trouve sur le segment , 0 et 1 représentant l'eau et l'avoine. La position de l'âne à un temps  est une fonction  qui dépend de deux chose : sa position de départ  et du temps .  Ici, on va plutôt fixer un temps et s'intéresser à ce qui se passe quand on fait varier sa position de départ. Évidemment, si l'âne commence 0 ou sur 1 son choix sera imméditament fait : on suppose donc que  et . Selon les lois de la physique, la fonction sera continue. C'est ici que tout se joue : Si on décide que "si je commence à gauche de   , je vais à gauche, et sinon je vais à droite", cette décision n'est pas continue au point . Des petites variations impliquent de petits changements.  étant continue, le théorème de la valeur intermédiaire nous informe qu'il y aura toujours des valeurs de   strictement entre 0 et 1.

Qu'est ce que ça veut dire : supposons qu'on attende t = 1000 ans, .  On a  = 0, puisqu'au bout de mille ans, si la position intiale de l'âne était 0 il aura choisi l'eau, et si il commençait sur 1 il resterait à manger de l'avoine, et devenir gros et moche. Donc, il existe une position initiale   tel que , avec 0 < a < 1. En particulier, au bout de 1000 ans l'âne n'aura toujours pas atteint  son but, puisque si il l'avait atteint avant il serait resté dessus ! Donc, pour une durée de temps arbitraire, il existe des positions initiales tel que l'âne n'ait toujours pas pu faire de choix à la fin de ce temps. (Et en particulier, si on prends un temps suffisament élevé, notre pauvre âne a peu de chance de survivre ...)

Ainsi, de manière plus formelle et scientifique, le principe de Buridan s'énonce de la manière suivante : 

 Une décision discrète basé sur des informations continues ne peut pas être prise en un temps borné. 

Buridan, version piétonne 

On peut faire varier ce problème d'une manière intéressante. Il vous est tous arrivé dans un trottoire de vous retrouver face à une personne, et de changer de direction (aller sur la partie droite du trottoire, ou à gauche). Si deux personnes marchent l'une en face de l'autre, et doivent s'écarter au dernier moment, il existe une position initiale telle qu'elles rentrent en collision ! (en supposant qu'ils ne s'arrêtent pas)

Buridan, version céleste 

Une variation de ce problème est deux pilotes d'avions qui volent : ils peuvent choisir d'aller à droite, en bas, à gauche ou à droite, et le ciel est plus large que le trottoir, donc c'est une décision continue qu'il faut prendre. La conclusion est cependant la même : si les avions ne peuvent pas s'arrêter, il existe forcément une position tel que la collision entre les deux soit inévitables. 
Si on change de coordonnées, on peut se ramener au problème suivant : un avion voit un ballon volant en face de lui. On va supposer que

1) L'avion se trouve dans un plan P au début, qu'il est forcé de croiser le plan Q dans lequel est situé le ballon. 

2) Si il commence très à gauche du ballon, il le contournera par la gauche. Si il commence très à droite, il ira par la droite. 
On peut observer le schéma suivant : 

On peut se convaincre facilement grâce à la condition 2 que si l'avion se trouve vers la ligne da, il ira par le sud, etc. Donc, l' "image" du rectangle par l'application F est envoyé sur un espace de dimension 2 homéomorphe à un rectangle et grâce au théorème du point fixe de Brouwer (chouette de la topo !!) on peut montrer qu'il existe forcément un antécédent à l'image "balloon", autrement dit une position initiale de l'avion tel qu'il percute le ballon (donc l'autre avion si on revient aux coordonnées initiales). 

Buridan, version geek 

On peut même avoir un apercu de ce paradoxe dans la vie de tout les jours !! En effet, supposons que lorsqu'on touche notre clavier, on envoit disons 5 volts à l'ordinateur. Si il reçoit 0 volts, on a pas appuyé sur la touche à coup sûr. Si il reçoit 5 volt, on a appuyé sur la touche à coup sûr. Maintenant, comme le fait d "appuyer sur une touche du clavier" est continue, et n'envoie pas toujours un courant constant, on peut se dire qu'il existe un intervalle (probablement très faible) ou l'ordinateur ne sait pas quoi faire (par exemple si il reçoit pile 2,5 volts ...), on ne peut pas prédire. 

Conclusion

Tout en sachant que la décision discrète de fermer cette fenêtre dépends d'informations continue, il est probable qu'au moins un visiteur reste ici sur cette page à vie.